第722章万物皆数 (第3/4页)

限的生灵力量太弱，有理数对应的世界在他们眼里和连续的世界是一样的。”

    “他们找不到最的空间尺度，因此他们也看不到这间图书馆的尽头，即使是建造这座图书馆的阿基米德本人也不例外。”

    李恒看向图书馆的某个书架，阿基米德就在这座图书馆的一本书里做着自己的研究工作。

    他就像传故事里的那样蓬头垢面，在那没有尽头的无穷世界里迷失了方向，很难再回来这里洗澡了。

    无论是广延的无穷大，还是无限可分的无穷，对于有限的凡人都是同样不可触及的实无穷领域。

    尤里卡突袭者驾驶着黄鸭在图书馆内穿梭，最终停在了图书馆的一座书架面前，正对着一本棕色的书籍。

    “嗯，就是它了。”

    阿基里斯看向这本巨大的书籍，它的封面上画着一个圆，圆的内部则有许多辅助线，构成了一个有近百条边的正多边形。

    《穷竭法与圆周率》

    随着她的注视眼前的书本封皮翻开，显露出内部记录的文字。

    “穷竭法来自欧多克索斯，阿基米德是它的继承者。”

    “开篇是对于圆的面积计算，这种方法很像是切割披萨，通过将圆切割城一块块微的扇形，将它组合成一个新的形状。”

    阿基里斯看着这本书最初的几页，一个完整的圆被重新切割之后，成为了一个近似于长方形的形状。

    长方形的两条长边由圆的圆弧构成，另外两条短边则是圆的半径。

    “将圆切割的块数越多，构成的图形就越接近真正的矩形，当弯曲的圆弧被切割到无穷时，圆弧就成了直线。”

    “最终就能很容易的计算出，圆的面积等于1\/2半径x周长。”

    “这就是穷竭法，通过切割和重组把曲线化为直线。”

    阿基里斯是个没上过学的义务教育漏网之鱼，如果是个现代人就能很容易理解，这种处理方法其实就是微积分的雏形。

    在欧几里得的几何原本上也提到了这种方法：

    一个量减去它自身的一半或一半多，剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。

    一直这样减下去，最终就得到一个于任何事先给定量的量。

    在这里使用了“任意”这个词，这是一种潜无穷的观点。

    相较于其他古希腊人，欧多克索斯和阿基米德更注重实用。

    不在意逻辑推理上的疑难问题，只关注能否计算。

    因此他们在否认实无穷的古希腊时代，发展出了接近微积分的穷竭法来处理那些光滑的曲线。

    就像把一个圆重组成矩形时那样，微积分可分为两个步骤：切分和重组。

    切分过程总是涉及无限精细的减法运算，把一块蛋糕不停地切去一半，最终留下来一块任意——或者是无穷的部分，这个过程就是微分。

    重组过程则总是涉及无限的加法运算，将无穷的各个部分整合成原来的整体，这个部分就是积分。

    两个步骤分别对应于还原论与整体论的哲学思想。

    “阿基米德用类似的方法来计算圆周率，通过画圆的内接正多边形和外接正多边形，计算圆周率的范围。”

    “最终，当正多边形的每一条边无穷、边的数量达到实无穷时，就能得到一个光滑的、完美的圆，同时也就得到了圆周率。”

    实无穷有趣的地方就在于，经过无限次步骤后得到的最终结果反而会比有限的状况处理起来简单许多。

    一个有古戈尔条边的正多边形，那可比光滑完美的圆复杂得多了。

    这就像作为整体的无理数根号2与数点后的一部分有限数一样。

    实无限凌驾于一切有限之上，但却未必就比有限的事物更复杂。

    这也是渺的人类有可能理解无限的宇宙，以凡人之身掌握万物运转规律的理论基础。

    整本书的内容并不困难，只要不被古希腊人对无穷的厌恶吓到，很容易就能理解阿基米德计算圆周率的过程。

    当然，具体计算起来又是另一回事了。

    古希腊人只能徒手计算那些需要开根号的麻烦无理数，用这种方法来计算圆周率的效率相当低下。

    “有了穷竭法以后，再次回头看芝诺的二分悖论。”

    “1\/2 1\/4＋1\/8…，这个无穷级数就是数轴上每次割去一半、无限次切割的单位长度。”

    “欧多克索斯和阿基米德不敢在书面上使用实无穷，但是如果应用了实无穷，就能知道这个无穷级数的和正好等于1。”

    “二分悖论的问题在于，芝诺认为无穷个量相加一定是无法计算的无穷，却没想过结果其实是一个有限的数值。”

    到这里，李恒抬手给阿基里斯递过去一本册子。

    “嗯？…书？”

    阿基里斯看着手中的册子，打开之后看到的是“第四十六章”的字样。

    “『我的父母很明白，阿基里斯是能够追上乌龟的，他们为我取这个名字不是把我当做善跑的英雄，而是那只悖论中的可笑乌龟』。”

    她抬起头问道：

    “这本书写的是我的故事？”

    李恒点点头回道：

    “是，阿基里斯是这本书的主角。”

    “不仅是二分悖论，阿基里斯与芝诺的龟的问题也可以用这种思想来解决。”

    “0.999…=1，这里的等号不是约等于，而是确切的等于。”

    “不考虑阿基里斯到底是如何从静止走向运动、又是如何走完无穷步的。”

    “这个等号的意思是，在数学上的理想状况下，经过了无限次步骤之后，阿基里斯确实追上了乌龟，两者在数轴上完全重合，位于同一个点。”

    “1\/2 1\/4…=1，0.9…=1，其实只是同一个数的不同写法而已，是在数轴上从0出发抵达1的不同行走方法。”

    “其他整数和分数也可以被写成这种无穷级数的形式。”

    “人类发现的无理数，实际上就是一个和为有限值的无穷级数，也就