第723章无穷小的幽灵 (第2/3页)
起手中那枚粉白色的螺旋状钥匙，将它像是钻头一样轻轻旋转。 螺旋钥匙的尖端位置，那个没有大小的点以无穷的力量破开了层层阻隔，将无限可分的有理数世界瞬间切割到尽头。 无尽的世界在这一刻被切割破碎，毕达哥拉斯扭曲的身影消失无踪，在无穷小的世界尽头，显现出无尽灿烂的光辉。 阿基里斯在这片纯净的白色光辉中微微眯起眼睛，她看到了两道相对而立的身影。 他们穿着黑色的西装，头上有波浪般卷曲的白色假发，手中持有棕色的拐杖，正在激烈地争吵着什么。 “牛顿和莱布尼茨，这个世界的统治者，为了微积分的发明权吵得不可开交。” 李恒随意地挥了挥手将这两道在光辉中争吵的人影拍散。 “看起来，似乎没什么不同？” 阿基里斯仔细地观察着眼前这个对应着无理数的世界。 普通的街道，普通的行人，虽然有着不同于现代地球的风貌，但无论是人与物都与她以前所在的地球没什么区别。 “虽然看起来没什么区别，但这里的确与我们之前所在的世界不一样。” “毕达哥拉斯统治的那个有理数世界位于0～1两个整数之间，我们现在所在的世界是位于两个有理数之间的无穷小区域。” “这里是纯粹的无理数的世界，你眼前所能看到的这个世界里的任何一个物体，它们都容纳着无穷的信息，即使是自身无穷小的组成部分也一样。” 阿基里斯听着他话语中反复使用的“无穷小”，直觉感受到这里面有某些不太清晰的矛盾之处。 她低头看着自己手掌上像是理想的圆一样光滑、看不到最小尺度的皮肤，问出了心中的疑惑： “有理数和整数不一样，它们在数轴上的分布是如此的稠密，以至于根本无法找到彼此紧挨着的下一个有理数。” “如果说因为有了那个超图灵机的力量，所以能完成凡人不可能完成的任务，通过无限次切割，找到密密麻麻的有理数之间的空隙。” “但为什么我们本应该已经走到了无限可分尽头的无理数世界，可这个世界看起来却依旧还可以继续无限分割下去？” 阿基里斯说到此处伸出手掌，一缕空气被她抓在掌心之中。 她微微用力，这团气体就像是普通的气体一样被捏碎，从她的指缝之间溜走。 明明已经是位于两个有理数之间无穷小的世界，却依旧还藏着无限个无穷小的基本组成部分。 并且，这每一个无穷小的基本组成部分都是一个容纳着实无穷序列的无理数。 如果还有着比无穷小更小的无穷小，那之前所谓的无穷小又算是什么？ “没错，在原始的穷竭法和早期的微积分之中，有着许多模糊不清的地方。” “虽然它们在计算光滑图形的面积上很有效，但它们的理论基础却并不坚固，如同一座空中楼阁。” 李恒抬手从眼前划过，看着手掌的轨迹道： “点动成线，在欧几里得的定义中，他将点称作是没有部分的东西。” “一个没有大小的东西，这个东西的长度自然就是0。” “但点动成线，无穷个点的组合却变成了有着某个具体且有限的长度的线。” “古希腊人最讨厌的0和∞又在这里出现了，这种定义就和0x∞得出某个有限大小的数是一样的。” “在早期的微积分中，就充斥着这种麻烦的问题，本质上是微积分没有能力处理无穷，无论是无穷大还是无穷小。” “嗯，咱们边走边说。” 李恒拉着阿基里斯的手迈步向着街道对面走去。 这个白发女孩下意识地低头看向两人交叠在一起的手掌，回忆起最初地球上的那条街道。 还是一样的触感，但随着她一点一点理解了“运动”、“触碰”的难度，她对于人与人之间的接触也有了与之前完全不一样的理解。 “我见到的只是我眼中的他，我触碰到的手掌也只是我脑海中认知的感受。” “人在这个世界上所能感受到的其他人与物，其实都只是自己脑海中的信息。” “这大概就是所谓的心外无物，人终其一生所能感受到的仅有自己。” 从这恍惚间的思考中回过神来，阿基里斯收回视线，抬头看向面前出现的东西。 那是一幅二维平面直角坐标系，此刻漂浮在两人的面前，一条弯弯曲曲的曲线从原点出发，随着两人的步伐慢慢地向前移动。 “这是笛卡尔发明的坐标系，是解析几何的基础。它可以用来表示变量之间的关系，直观的看到函数的图像，将抽象的代数与直观的几何联系在一起。” “这张坐标系上，横轴是时间t，纵轴是距离S。” “从牛顿和莱布尼茨的微积分，到正式严谨的现代微积分，中间有很多复杂的东西可讨论。” “不过这里不是高数课的课堂，所以用不着去学着计算那些麻烦的定积分、不定积分、常微分方程、偏微分方程。” “现在要讨论的只是微积分和第二次数学危机的有关问题，这个问题与你的名字紧密相关。”
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