第724章无缝的实数轴 (第2/2页)



    “微积分基础的严格化解决了很多问题，但也带来了很多新的问题。”

    “最关键的就是，需要一个无理数的基本定义，这些无理数构成的数轴具备连续性。”

    万物皆数，在直观的几何上从离散到连续的转变，就是从有理数到实数的转变。

    魏尔斯特拉斯，戴德金，还有康托尔，这三人各自完成了对实数的基本定义。

    其中容易理解的是戴德金的定义。

    李恒面前再一次漂浮起那条用白色粉笔画成的数轴，只不过这一次上面的数字变成了各种奇奇怪怪的符号。

    “点动成线，数轴上的无穷个点密密麻麻地填满了所有的空隙，没有丝毫的漏洞。”

    “这是连续性最直观的一点，但从这种稠密性的视角去理解数轴的连续性已经宣告破产。”

    “任意两个有理数之间都存在第三个有理数，但它们并不连续，每一个有理数还被密密麻麻的无理数所包围。”

    “连续性显然不是根源于任何种类的致密性，用这种想法去思考数轴连续性的根源是一无所获的。”

    “思考数轴连续性最好的方法是从数轴的有序性和相继性入手。”

    “也就是在数轴上，每一个点的左边是一个更的点，右边是一个更大的点。”

    李恒抬起手掌，一记朴实无华的手刀砍在面前的白色数轴上，激荡起一阵金属碰撞般的火花，让整个世界都剧烈地颤动了起来。

    上那闪耀着无尽光无尽热的大火球也在这一刻微微暗淡了下去，争吵了不知多久的两个数学家将目光投向了此处。

    他们感觉到，这个隐藏在有理数的缝隙中，无限可分的无穷世界，真的被找到了那个不可分割的最基本元素。

    “从数轴的可分性去理解连续性，这就是我们两个一路上在做的事情。”

    “切割整数，切割有理数，切到不可再分的那一点，找到能精确地将数轴分割成左右两部分的那个点所代表的数。”

    “在这个数左边的所有数都于这个数，在这个数右边的所有数都大于这个数。”

    这就是戴德金分割。

    如果直线上的所有点都落入两个集合，第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。

    那么就存在唯一的一个点把所有的点划分成两类，从而把直线分割成两部分。

    于是，通过定义集合A和b的成员和边界，就可以准确定义这点的值，数轴上真正不可再分的基本元素。

    用数轴上位于左侧和右侧的两个互斥集合来定义一个点的数值，这就是戴德金分割的思想。

    在之前的旅程里，一旦离开了处处均匀的整数世界，两人就沦陷在了有理数和无理数的稠密性郑

    他们不得不面对那些包含着无穷个元素、但却看起来同样都是无穷的区间。

    归根结底，这些看起来无穷的有理数缝隙，依旧还不是一个没有大的点。

    虽然它看起来在数轴上占据的长度是零，但这里却藏着无数个无理数，构成了这片有牛顿、莱布尼茨、贝克莱主教的复杂世界。

    “因为无理数的定义还不清晰，我们只知道无理数的某些实例，而不知道所有无理数的状况。”

    “因此我们这里能用来作为分割标准的只有定义清晰的有理数，”

    “一刀将数轴分割成两个部分，将会得到几个不同的结果。”

    “第一，左边的A集合有最大元素，右边的b集合没有最元素。”

    “这就明这一刀砍在了数轴上的某一个有理数p\/q所代表的点上，并且这个点位于左集A之郑”

    “如此数轴就被分成了两部分，比如。”

    “数轴上的每一个点都是唯一的，一个点在左集A中，就不可能在右集b郑”

    “所以第二种情况，左集A没有最大元素，右集b有最元素。”

    “这两种情况都没有发现数轴的缝隙，因此这些分割就对应所有的有理数。”

    “除此之外的第三种情况，左集A没有最大元素，右集b也没有最元素。”

    “这就是有理数之间的缝隙，想要填补这个缝隙就需要无理数，也就是我们现在所在的这个世界。”

    “用有理数进行分割，如果分割不产生空隙，那么它就是一个有理数；如果产生空隙，那么它就是一个无理数。”

    “由此就从有理数扩展到了实数。”

    到这里，李恒又抬手在阿基里斯的肩膀上贴上邻四个便签“戴德金分割”。

    前三张便签纸上分别写着“一一对应、基数”，“有序排立序数”、“排中律”的字样。

    “再次回到之前解释过的0.9…=1的问题，用戴德金分割就能证明这一结论。”

    “0.9…是一个十进制无穷数，它和1是数轴上同一个点代表的数的不同写法。”

    “所有的无限数已经填满了整条实数轴，再也没有其他数字的位置。”

    “与戴德金分割对实数的定义等价，康托尔用无穷序列来定义数轴上的数。”

    “一个有理数的无穷序列，如果任意两个相邻项的差越趋于0，那么这个有理数序列就是一个实数。”

    “康托尔将这称为一个基本序粒”

    “任何有理数序列的收敛等同于它可表示为一个无穷的十进制数。”

    “这种定义下的系统是封闭的，也就是，用有理数定义的实数去组成实数序列，得到的极限仍是实数。”

    “1.00…和0.99…，这两个不同的基本序列极限是一样的，定义了数轴上的同一个实数。”

    “也正是因此，类似于这样不是0也不是后继序数的超穷序数被称为极限序数。”

    “它们本就来自于表示无理数的基本序列，源于微积分中的极限，没有最后一位的概念。”

    “嗯，前置基础总算是的差不多了。”

    李恒抬手打了个响指，两人来到了一间幽暗老旧的精神病院外面。

    “有了无缝的实数轴和实数的基本定义，接下来就可以开始研究连续统了。”