第733章追不上的乌龟 (第2/3页)

的那条数轴做出来的。

    不，现在的话，应该把这条数轴称作是实数轴更合适。

    她所在的这个世界显然并不仅仅局限于标准分析定义的实数集的范围。

    即使是数量达到1的全体实数，依旧无法构成一条完美无缺，没有空隙的数轴。

    “回顾我们之前对芝诺悖论的解决方式。”

    “长跑健将阿基里斯从数轴上的0点位置出发，第一步走出0.9，第二步走出0.09，如此无限累加，最终走出了无限步。”

    “在经过无限次迈步之后，她从0走到了1，追上了芝诺那只恼饶乌龟。”

    “0.999…=1，两者是标准分析中定义的同一个实数的不同写法。”

    “但是，如果并不局限于实数域的范围，将这条数轴上分布的数扩大到超实数域…”

    到此处，李恒的目光投向阿基里斯肩膀上贴着的便签。

    在“一一对应、基数”，“有序排立序数”，“排中律”三张纸条以外，还有最后才贴上去的一张纸条。

    “戴德金分割？”

    阿基里斯顺着他的目光歪了歪头，看着自己肩膀上的这张纸条若有所思。

    原来如此。

    写着排中律的纸条对应的是第三次数学危机后诞生的哥德尔不完备定理和停机问题，以及超图灵机的力量层级。

    从有限到可数无限，再到不可知不可论的不可数无限。

    但这一切都局限于实数的范围以内。

    第四张便签上的内容才是他们研究连续统需要面对的最后一个问题。

    所有的实数真的构成了一条无缝的数轴吗？

    对有限的凡人而言，这个问题不会有什么可验证的结果。

    如果全体实数依旧无法填满数轴，那就表明连续统的基数比不可数无限1还要大，至少是2或者更大。

    但实数集就已经是不可知不可论的存在，更别是比它还大的集合。

    “戴德金分割…”

    阿基里斯对着面前白色的数轴比划着自己的手掌，做出一个像是切蛋糕的手势。

    所谓戴德金分割，是用有理数作为刀刃去切割一条连续无缝的实直线，把实数集切割成左右两个互斥的集合。

    当切割出的左集中没有最大元素，右集中也没有最元素，那就代表砍中了数轴上有理数之间的空隙。

    这种空隙是一块非0的无穷区域。

    因为有理数定义为整数之比p\/q，所以它们之间的每一个空隙都是一条非零的线段。

    这条线段里有无限多的代数无理数和超越无理数，这些点的集合构成了数轴上一段非0却于任意给定实数的长度。

    “再多给你一点提示。”

    李恒打了个响指道：

    “向着实数轴上扔一个理想的点状飞镖，它命中1的概率是0。”

    “同样的，它命中自然数、有理数、代数无理数这些数量为可数无限的数的概率显然也是0。”

    “不仅如此，就算是不可数无限也一样。”

    “举个例子，刘维尔数集可以与实数集一一对应，它是一个不可数无限集合。”

    “但刘维尔数集却是一个零测集，也就是它在实数轴上占据的区域为0。”

    “有限数，可数无限，不可数无限。”

    “明明彼此之间有着地之差，却都在数轴上占据着一块大为0的区域。”

    “点和线，这两个概念之间的差距比常人想象中的还要大得多，完全不是区区降维打击的程度。”

    “从点的集合出发，自下而上地去思考数轴的连续性，这种方法是没用的。”

    “即使不可数无限数量的点组成的集合，也无法从没有大的点跨越到有长度的线段。”

    任一实数都对应数轴上唯一的一点，反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数。

    于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系。

    但是，如何从没有长度的点跨越到有长度的线段，这个过程其实是含糊不清的。

    实数的数量是远比有理数更多的不可数无限，它们在数轴上比稠密的有理数更稠密。

    但是，仅仅是引入一个比可数无限更大的不可数无限，并不能完成从点到线段的跨越。

    阿基里斯凝神思索，回忆着两人从自然数世界开始一路走到现在的经历，逐渐有了思路。

    应该反过来思考，从连续无缝的直线为起点，研究直线的无限可分性。

    用有理数切割直线，可以得到无数个长度非0的无穷线段。

    这些线段的长度是潜在的无穷，它们内部隐藏着的无理数填补了数轴上有理数之间的空隙。

    到这里都没有什么不清晰的地方，用有理数切割直线得到的是无数条长度非0的无穷线段