第734章无中生有 (第3/3页)

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    这种有序性显然与数在数轴上分布的左右关系是一样的。

    “有序性，是戴德金分割？”

    阿基里斯反应了过来。

    数轴上分布的数具备有序性，彼此之间可以比较大小。

    因此就可以使用分割数轴的方式，用两个左右互斥的集合来准确定义一个数。

    这种定义方式与生成自然数的规则是不同的，它一开始就至少要用到两个集合。

    在旧的规则中，定义自然数最初的0却仅仅只需要用到一个空集。

    从最初诞生的基础规则开始就不同，用这种全新的方式定义的数恐怕与普通的数也完全不是一回事。

    “没错，用两个互斥的左集和右集来定义一个数。”

    李恒举起手中的那台二星芝诺机，将它那看不到具体大小的尖端对准白色的数轴。

    阿基里斯耳边有清脆的破裂声响起，看似无缺无漏的实数之间被破开了一道缝隙，超越实数的世界被找到了。

    纯白无暇的世界消失不见，这个隐藏在实无穷小区域中的新世界既不是虚无的黑暗，也不是不可知的混沌。

    这里是一片普通的海滩，海滩边埋着一块黑色的大石头，露出来的半截上面刻着一段像是涂鸦一样的雕文。

    “公理石碑？”

    阿基里斯微眯着眼睛看向那块黑色大石头。

    名字起的倒是高大上，但看起来就是一块黑漆漆的大石头，跟石碑这个词完全搭不上边。

    『初，万物混沌苍茫，尔后康威始创诸数。』

    『创生二道，大小诸数盖由此出。

    其一曰：凡数，皆合于前创二数之集，其位左者，无一大于或等于其位右者。

    其二曰：甲数小于或等于乙数，当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数，且乙数之右集中无一小于或等于甲数。』

    『康威检视二道，连呼妙哉！此二道真妙绝！』

    这两条规则并不难理解，第一条规则就是描述了数轴的有序性。

    第二条规则就是戴德金分割的基本思想，用数轴上左右互斥的两个集合和来定义一个数。

    每一个数本质上都是一对数集，并且这些数集中的每一个数本身也是一对数集。

    “康威？”

    阿基里斯低声念着这个名字。

    两人之前在讨论大数的时候提到过这个名字，用于表示大数的高德纳箭头和康威链式箭号。

    这人应该就是那个康威。

    她继续向下看去。

    『元初之数，左右皆空，康威名之曰“零”，命其为正负两界分野之符。』

    『康威证得零小于或等于零，此间妙也。夜去昼来，是为零日。』

    『次日又得二数，其一以零为左集，其一以零为右集，前者曰“一”，后者曰“负一”…』

    这就是用前面提到的两条规则来定义数了。

    知道了戴德金分割的基本思想，这种全新的规则阿基里斯看过一遍就明白了。

    每一个数本质上都是一对数集。

    但最初没有任何的数，唯一存在的东西就是虚无，也就是空集。

    所以最初的数左右两侧都是空集，这个数就是0。

    写成符号形式就是，0=。

    左右皆空，空集不包含任何元素，空集与空集之间自然也就没有交集。

    并且，因为不包含任何元素，所以空集是任意一个集合的子集。

    这就意味着空集可以被随意地放在左侧或者右侧。

    无论另一边的集合中是包含一个还是无穷多个元素，空集都一定满足这两条规则。

    空集的这种性质还真是好用，集合论里的空集果然和哲学意义上一切皆无的概念完全不一样。

    1=

    2=

    -1=

    -2=

    以此类推，便可创造出一切整数。

    “不，或许这些符号还可以更简单一些。”

    阿基里斯突然又摇了摇头。

    比较数轴上左右两个互斥集合，不需要比较集合中的每一个元素，只需要比较左集中的最大元素和右集中的最小元素。

    这样的话，2=也可以写成2=。

    每一个新的数都在旧数的边界之处创造。